変形の記述

今日は「4章　変形の記述」の途中まで。
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ラグランジュ表示（物質表示）
水でいえば粒子追跡、移流計算。
その粒子が次の時間tでどこに行くか？
変形では、ある点Xが次の時間tでどこに動くか(変形する)？
ある物質Xの値の変化

オイラー表示（空間表示）
分散計算。
その空間（メッシュの各ノード）での値の変化。
ある点xが時間tで有する値。

ツーポイントテンソル
基準配置と現在配置にまたがるテンソル
変形勾配テンソルFはツーポイントテンソル。基準配置B0を参照するベクトルdXを、現在配置Btのベクトルdxに変換する作用素。dx=FdX

ヤコビアン（ヤコビ行列）
dv=JdV
J=detF
J＞0よりFは正則。

正則            ： AA^-1=I となる逆行列を持つ正方行列Aは正則
２次形式       ： 二階テンソルAを用いたベクトルxに関する２次式　x・Ax
正定置         ： x・Sx＞0　を満たす２階テンソルS
準正定置      ： x・Sx≧0　〃
直交テンソル ： 転置テンソルが逆テンソルになるようなテンソルR
　　　　　　　　　RR^T=R^TR=I　　detRR^T=detI=1
当長変換      ： 直交テンソルRはベクトルに回転を与えるだけで長さは変えない
極分解         ： 正則な二階テンソルAは正定置対称テンソルU、V、直交テンソルRにより
                      A=RU=VR のように積の形に分解できる。これが極分解。
右極分解      ： A=RU
左極分解      ： A=VR

正則な二階テンソルFは極分解できる。
dx=FdX=RUｄX=VRdX
右極分解では、dXをUで引き延ばし、Rで回転させてｄxにする。
左極分解では、dXをRで回転させて、Vで引き延ばしｄxにする。