1. 背景
降雨誘発型地すべりの早期警戒は、50年以上にわたり降雨閾値に依存してきた。降雨の強度・継続時間・累積量がある臨界値を超えると地すべり発生確率が急増するという経験的・統計的アプローチで、直感的で一般市民にも伝わりやすく世界的に成功してきた。
降雨閾値は地形特性とは独立に推定され、後段で「掛け合わせ」によって統合されることが多い。しかし統計的には、確率の単純な積で同時確率を求められるのは変数が互いに独立な場合のみ。実際には地形は降雨の時空間分布に強く影響する（植生による蒸発散など）。したがって降雨と感受性は独立と仮定できず、両者の事後的統合は統計的に問題がある。
これを受けて、降雨を感受性モデルに直接組み込む時空間モデリング（space-time modeling）が登場。データを「データキューブ」（平面＝空間、高さ＝時間）として捉え、地すべりの有無を応答変数とする。
これまでの時空間モデルのほぼすべてが、降雨を時間窓ごとの累積値（スカラー値）に集約してしまい、時系列本来の豊かな情報を失っている。一方、連続した降雨信号をそのまま扱う試みでは、スカラー手法を大きく上回る性能が報告された。
深層学習（LSTM・CNN）の課題:①ブラックボックス性、②大量のラベル付きデータが必要（正確な発生時刻を持つインベントリは希少）、③学習された時間特徴に物理的意味づけができない。
関数回帰（functional regression）の利点:降雨時系列上に滑らかな係数関数 β(t) を明示的に与えるため、「どの時点の降雨が最も効くか」を直接解釈でき、早期警戒システム設計に有用。
Moreno et al. (2025) は関数回帰を試したが、地形＋降雨を入れた場合、長い時間窓ではスカラー版と関数版の性能差が消えた。著者らは「これは時系列がわずか6日と短すぎたため」と仮説を立て、より長い時間窓で再検証することを本研究の目的とした。
2. 手法
2.1 対象データ（日本の3つの地すべりインベントリ）
国土地理院（GSI）の資料を基に、降雨誘発型地すべりの3事例を使用。
| 地域 | 誘発イベント | 時期 | 地すべりポリゴン数 |
| 紀伊半島 | 台風Talas | 2011年9月 | 1,902 |
| 能登半島 | 豪雨 | 2024年9月 | 1,540 |
| 宮城・福島 | 台風Hagibis | 2019年10月 | 847（土石流・表層崩壊のみ） |
2.2 データキューブの構築
マッピング単位: グリッドではなく斜面ユニット（Slope Units, SU）を採用（`r.slopeunits` + QGISのSZ-pluginで最適化）。
総観測数 64,250 SU（Kii 49,306 / Noto 6,056 / Miyagi 8,888）。不安定SUの割合はそれぞれ3%, 10%, 4%。
静的共変量（5つ）: 傾斜（Slope）、断面曲率（Profile curvature）、斜面方位を分解した Eastness / Northness、岩相（Lithology：堆積岩・付加体・火成岩・変成岩の4分類）。すべてGSI DEM等から導出。
動的（関数）予測子:CHIRPS-GEFS による日降水量（予報データ、空間解像度5km）。発生日とその33日前まで＝計34日の降雨時系列を、先行降雨（準備的）＋誘発降雨を含む形で構築。
2.3 GAM と FGAM
GLM → GAM → FGAM という拡張系列
GLM（一般化線形モデル）: 予測子と地すべり発生のlog-odds（対数オッズ）の間に線形関係を仮定する。この線形性が制約となる。
GAM（一般化加法モデル, Generalized Additive Model）: 応答変数の期待値を、予測子の滑らかな（非線形の）関数の和で表せるようにしてGLMを一般化する。この滑らかな関数にはスプライン（spline）を用いる。加法構造（additive structure）のため、各共変量の寄与を個別に分離・解釈できる（機械学習のブラックボックス性と対照的）。
指数型分布族の応答を扱え、本研究では地すべり有無を二値（Bernoulli分布）して扱いロジットリンク関数 logit(p) = log(p/(1−p)) で線形予測子を [0,1] の確率に変換する。
FGAM（関数一般化加法モデル, Functional GAM）: GAMをさらに拡張し、スプラインのような滑らかな関数項に加えて、関数項（functional term）＝予測子そのものが時系列（関数）であるものを組み込めるようにしたもの（McLean et al., 2014）。
降雨時系列に対して回帰でき、地すべり過程に内在する非線形な時間ダイナミクスを表現できる。技術的には各時点での寄与を「ヒートマップ」として捉え、s次元×t次元のパラメータ空間になる。関数項は係数関数（無限次元）と降雨データ関数の L²内積で定義される。無限次元のままでは推定不能なので、K個の基底関数（B-spline）に展開して K次元の有限問題に変換する。
Y(s,t) ~ Bernoulli(p_s,t)
logit(p_s,t) = α + β1·eastness_s + β2·northness_s + γ·litho_s
+ f1(slope_s) ← 1次元スプライン（基底7個）
+ f2(profcurvature_s) ← 1次元スプライン（基底5個）
+ f3(precipitation_s,t) ← 2次元スプライン（各次元4基底）＝関数項
降雨の関数項は、降雨曲線と各基底関数の積を積分してスカラー共変量 Zik を事前計算し、それを滑らか項としてモデルに投入する（**Penalized Functional Regression, PFR**）。
2.4 推定
REML（制限付き最尤法）で平滑化パラメータを推定（Rの refund ＋ mgcv バックエンド）。GCV（一般化交差検証）は過小平滑化・局所解の問題があるため不採用。
過学習を防ぐため、係数関数 β(t) の「うねり（wiggliness、2階微分の2乗積分）」に基づくペナルティを課す（平滑化パラメータ λ で適合度と滑らかさのトレードオフを調整）。
基底数 K は有効自由度（EDF）が K より十分小さいことを基準に選択。
2.5 ベンチマーク（4モデルの比較設計）
| モデル | 降雨の扱い | 地形共変量 |
| FGAM1 | 関数（時系列） | あり |
| FGAM2 | 関数（時系列） | なし（降雨のみ） |
| GAM1 | スカラー（累積値） | あり |
| GAM2 | スカラー（累積値） | なし |
検証戦略: 時間窓を1日ずつ増やして34日まで性能変化を観察。
ランダム交差検証（訓練比率5%〜90%、各100回ブートストラップ）。
空間交差検証（leave-one-inventory-out）：2地域で訓練・残り1地域で検証（転移性能を評価）。
評価指標：AUC（カットオフ非依存）、混同行列・TP/TN率（Youden指数でカットオフ設定）、Precision-Recall。
3. 結果
3.1 共変量の効果（FGAM1）
傾斜: ほぼシグモイド状。〜10°は低確率、10〜35°でほぼ線形に確率増加、その後変曲（最大傾斜で確率約0.3）。表層崩壊・土石流という地すべりタイプと整合（緩斜面は安定、急峻すぎると土層が乗らない）。
断面曲率: ほぼ平坦地形でピーク（確率〜0.55）、凸型・凹型では急減。
岩相: 付加体のみが有意に不安定と関連。
方位: 東向き・南向き斜面で不安定性が高まる。
降雨の関数効果: 33日前（day −33）はどんな強度でも発生確率ほぼゼロ。発生日に近づくと確率が急増し、ピークは発生の1〜2日前。3事例とも約3日続いた暴風雨で誘発されたことと完全に整合。
3.2 時間窓に対する性能
GAM2が一貫して最低性能（AUC開始点〜0.73）。
GAM1は地形予測子のおかげで〜0.80から開始。
関数モデル（FGAM1/FGAM2）はスカラー版を上回り、かつ挙動が安定（滑らかに性能向上、特にday −16以降）。GAMは時間窓に対し不規則変動。
GAM1とGAM2の性能差は大きいが、FGAM1とFGAM2の差は小さい。
3.3 データ量に対する安定性
訓練データ割合を変えたときのモデル安定性ベンチマーク。AUCは補集合（検証サブセット）で計算し、手順を100回ブートストラップして箱ひげ図を作成。
FGAMは一貫してGAMを上回り、少ない訓練データで早く性能の漸近線に到達。ランダム交差検証でFGAMはAUC > 0.81（acceptable〜good）を安定維持、GAMは0.81未満。
ランダムCVは過大評価しがち（Anderssen et al., 2006）。隣接SUは地形が類似し降雨も5km格子を共有するため、訓練と検証に近接SUが混在して空間的自己相関で結果が楽観的。 FGAM2は地すべり検出（TP/P, 平均83.8%）でFGAM1（80.7%）よりわずかに高いが、安定斜面の識別（TN/N）では76.2% vs 69.9%でFGAM1が優位＝降雨のみのFGAM2はFN（見逃し）を多く出す。
3.4 空間交差検証（leave-one-inventory-out）
| 訓練 | テスト | モデル | AUC | 評価 |
| Miyagi & Noto | Kii | FGAM1 | 0.749 | Moderate |
| Kii & Miyagi | Noto | FGAM1 | 0.681 | Acceptable |
| Noto & Kii | Miyagi | FGAM1 | 0.613 | Acceptable |
| Miyagi & Noto | Kii | FGAM2 | 0.746 | Moderate |
| Kii & Miyagi | Noto | FGAM2 | 0.757 | Moderate |
| Noto & Kii | Miyagi | FGAM2 | 0.723 | Moderate |
FGAM1のAUCは地域により0.61〜0.75（ランダムCVより低い＝地域間の一般化は難しい）。FGAM2は3地域すべてで安定して良好（0.72〜0.76）。地形相互作用を入れたFGAM1は日本の多様な地質で性能が落ちることがある。
4. 考察（Discussion）
4.1 支持する論点（強み）
多変量フレームの統計的正当性:感受性評価と降雨閾値を別々に行うのは数値的に妥当でない。多変量回帰は共変量の相互影響を同時推定できる。
解釈性: 統計モデルは回帰係数や確率を直接見ることでモデル自体の理解が得られる。機械学習のLIME・SHAPは事後的（post-hoc）な近似にすぎず、モデル内部の指標ではない。
コンカービティ（concurvity）検証: 加法FGAMが地形（静的）と降雨（動的）の効果を適切に分離できることを確認（降雨0.61/0.35、傾斜0.40等、いずれも0.8閾値以下）。
降雨閾値の概念を継承: 降雨を発生日から遡って累積する手法は従来の降雨閾値と類似で、過去50年の早期警戒の知見を関数回帰に直接統合できる。
運用上の意義: 誤りの種類が重要。FN（見逃し）は人命に直結、FP（空振り）は信頼低下を招く。
予報降雨を使用: あえて観測でなく予報降雨を使い、前向き（forward-looking）に検証。早期警戒システムの要件を満たす設計。
4.2 反対する論点・限界
時間窓の問題: 性能はday −23付近で漸近（GAMはday −29でピーク）。適切な時間窓の定義が未解決の大きな課題。
地すべりタイプ未分類: 3事例は主に表層崩壊・土石流（≒単一タイプ）。タイプ別早期警戒（浅い/深い地すべりの区別）ができず、降雨時系列の地形学的解釈にも制約。深い・大規模な地すべりはより長い時系列が必要と推測（浸透に時間がかかるため）。
データ要件の厳しさ: 高頻度降雨データと正確な発生時刻を持つインベントリが必須。多くのインベントリは時刻が月・季節単位で曖昧。時間的不確実性は係数関数 β(t) にノイズを注入し、特に発生直前の重要な数日で降雨効果を過小評価する。データ希少地域では従来の静的感受性マップ・経験的閾値の継続使用が依然適切。
空間転移の難しさ: Leave-one-out検証（未学習の別地域＋別イベントへの転移）で性能が低下（FGAM1で0.61〜0.75）。日本の地質的多様性により、地形相互作用を含むFGAM1は学習データと条件が異なる地域で性能が落ち、降雨のみのFGAM2の方が転移には安定（0.72〜0.76）。
検証の整理：①ランダムCV＝同一イベント内でのSU内挿（リーク込みで楽観的）、②空間CV＝未学習の別地域への転移（0.6〜0.76）。
社会・運用的側面: 降雨閾値が今も主流なのはシンプルさゆえ。「○○mm降ったら警戒」は専門知識不要で誰でも理解できるが、関数回帰の確率はそうではない。多くの人に理解される警報ほど従われやすく、結果的にリスク低減につながる。性能だけが最良の基準とは限らず、行政機関・住民との協働による警報設計が必要。
4.3 結論
連続降雨時系列を用いた関数回帰（FGAM）は、スカラー集約モデルより一貫して優れた地すべり予測を与えることを、日本の3事例・多様な交差検証で実証。総合的にはPrecision-RecallでFGAM1が最良。
研究コミュニティに対し、スカラー降雨集約値の慣習的使用を批判的に見直すよう提言。
地域→他地域の転移は性能が落ち（0.6〜0.76）、全国共通の単一式は難しい。転移設定では降雨のみFGAM2が比較的健闘。検証例はまだ少なく、地形・降雨・地すべりタイプを変えた系統的検証が必要。
今後の課題： ①地域差を説明する変数・階層/転移モデルでの汎化、②タイプ別かつ発生時刻精度の高いインベントリでの検証、③降雨の高解像度化・地域別の時間窓最適化、④発生確率（感受性）に加え規模（intensity）・完全なハザードへの拡張、⑤確率出力を行政・住民が受け入れる警報へ翻訳する社会実装。
雨についてはRのライブラリを利用しながら33日前からの崩壊確率を出されてています。実効雨量や近年の機械学習ではもっと前の雨を使いますが、3つのイベントは台風のような短期指標があればよいので、33日とされたのかもしれません。目的が長期なのであれば、違ったイベントで見たいですね。
ランダムCVはリークの可能性があるというのはよく見かけます。汎化の妥当な見積りは空間CV側でしょう。そのFGAM1,2の結果を見ると、地形・地質を加えた効果が相対的に小さい＝地形・地質を交えた汎化が難しい→降雨だけの方（FGAM2）がまだ良い、でしょうか。結論を得るには、もう少し地域を増やす必要があるのでしょう。
各地域は1イベントのみのため、「同一地域の“次の”豪雨を当てる（時間的転移）」は本研究では検証されていません。その場合はもっと性能が上がると期待します。
ちょっと雨量の関数化がややこしいのでコードを見てみましょうか。
