コーシー応力テンソル

 非線形CAE協会「よくわかる連続体力学ノート」を読んでいます。

非常に丁寧な内容で、詰まることなく読んでいました。しかし、半分ぐらいまで読み終えた段階で分からなくなってきました。新しく覚えることがたくさんあり、短期記憶がパンクし始めたのです。既に読み終えた箇所の内容も忘れかけています。年ですね。

ということで、今日は「3章　コーシー応力」を読み直しました。以下、備忘録です。
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t=σn　ti=σijnj　（コーシーの式、σ：コーシー応力（テンソル））
σは、点Pを通る面の単位法線ベクトルnを、表面力ベクトルtに対応させる線形変換作用素

3×3の対称行列には以下のような性質がある
・実数の固有値が3つある
・異なる固有値の固有方向は互いに直交する
そのため、固有方向に設定した座標軸に垂直な3面で切れば、面に垂直な表面力ベクトルが現れる。＞＞＞この場合、コーシー応力テンソルσは対角行列で現れる。

基本不変量
σは座標系を変えると変化する。しかし、次の3つの演算結果は座標系によって変化しない。
  Iσ= trσ　　 =σ1 +σ2+σ3
 IIσ=tr(σ²） =σ1²+σ2²+σ3²
IIIσ=detσ     =σ1σ2σ3

コーシー応力テンソルσの固有方程式
det（σ-λI) = -λ³+I1λ²-I2λ+I3 = 0
第1不変量　I1=Iσ
第2不変量　I2=0.5(Iσ²-IIσ) =σ1σ2 +σ2σ3+σ3σ1
第3不変量　I3=IIIσ

σ=σm + s
σm：平均応力テンソル
 s　：偏差応力テンソル
この幾何学的説明が図3.10。分かりやすい。
||s||=√(s : s)がある一定の値に達すると破壊＞＞＞図3.11のフォン・ミーゼス降伏局面（円筒形）。