Hertz’s theory of impact

先日読んだ文献に、落石衝突による振動発生（室内・フィールド実験）について書かれていました。

模型実験の最盛期を経験してこなかった私にとって、相似則は単なる知識でしかありません。特に時間（の逆数になる周波数）の相似則についてはイメージが追いつきません。
この2文献では、いわゆる相似則を用いない平均周波数の推定例が掲載されていました。模型実験に造詣が深くなくとも、周波数の当たりを付けることが可能です。

Farin, M. et al. (2015), Characterization of rockfalls from seismic signal: Insights from laboratory experiments, J. Geophys. Res. Solid Earth, 120, 7102–7137, doi:10.1002/2015JB012331.

室内実験

• 周波数に対する粘性減衰の影響を定量化するために、式25および式26の合成スペクトルに、係数 exp(−𝛾(𝜔)r)をかけている （1/γ(ω)はエネルギー減衰の特性距離を表す）。
• エネルギー Wel や周波数 fmean および Δf を計算する前に、伝播中の波の分散や粘性減衰を評価し、測定された振動をこれらの影響から補正することが重要。実験では、この補正をシステマティックに行っている。
• 実験では1MHz以上のサンプリング周波数で信号を記録。
• 球状のビーズが粗い表面に衝突したり、礫が平らな表面に衝突したりすると、等価接触半径がインパクターの半径よりも小さくなることがある。板材では接触半径Rが1.15だけ小さければ、理論上の放射弾性エネルギー Wel は2倍小さくなる。ブロックでは、有効接触半径 R が2.1倍小さければ、放射弾性エネルギー Wel は10倍小さくなる。礫が粗いブロックに衝突すると、接触半径はさらに小さくなり、放射弾性エネルギー Wel も小さくなる。
• 周波数 fmean と Δf は半径 R に反比例し、放射弾性エネルギー Wel に比べて半径の変化による影響が少ない。図9上で礫が放射する周波数が、球状のビーズのそれに近いことからもわかる。

フィールド実験

• 周波数fmean（およびΔf）については、mおよびVzに対する明確な依存性が認められない。
• 衝撃によって放出されるエネルギースペクトル全体をできるだけ多く測定する必要があり、そのためには、理想的には 3/Tc 以上の高いサンプリング周波数を使用する必要がある。例えば、今回の落石実験では、インパクタの質量が m=10kg から m=2000kg に増加すると、衝撃持続時間 Tc がそれぞれ0.01秒から0.06秒に増加するため、サンプリング周波数は少なくともそれぞれ 300Hz から 50Hz にする必要がある。

まとめ

• 平滑な板の上では、弾性波と粘弾性散逸がエネルギー損失の主なプロセスである。弾性波の放射は衝撃エネルギーの0.1％から0.3％に過ぎない。粘弾性散逸は、板厚の10％以下の直径のインパクターで主に見られる。直径がプレートの厚さよりも大きい場合、エネルギーのほとんどすべてが弾性波で放射される。
• 粗いブロック上では、弾性散逸は失われたエネルギーの0.03%から5%程度。一方、塑性変形などの他のプロセスで失われるエネルギーは、インパクターの質量が増えるにつれて、失われるエネルギーの50%から99%以上に増加する。また、粘弾性で失われるエネルギーは、ビーズの質量が大きくなるにつれて、失われるエネルギーの50％から2％に減少する。
• 粗い基板＋粗いインパクタを用いた衝撃実験でもヘルツのモデルが使用できることが実証された。
• 落石の際に失われるエネルギーのほとんどは、塑性変形、または衝撃物の並進モードや回転モードで散逸すると思われる。塑性変形や一般的に不可逆的な消散は、弾性波で放射されるエネルギーを減少させるもので、定量化は困難。しかし、衝突体の質量と速度にかかわらず、弾性波で放射されるエネルギーは、衝突エネルギーの数パーセント以下であると考えられる。衝突時に粘弾性の散逸で失われるエネルギーは、フィールド上の地震観測所で検出される質量の範囲では無視できると考えられる。
• 観測された振動から衝撃の特性を推定する際には、波動伝播において放射エネルギーの大部分が高周波で失われるという事実が大きな制約となる。落石の振動調査では、できるだけ衝撃に近い信号を記録し、少なくとも継続時間の3倍の高周波サンプリングを使用することが推奨される。

その他

• アクティブまたはパッシブ手法により、サイトのグリーン関数を評価することができる。このグリーン関数を式25、26に用いることで、正規化された周波数がレイリー波のグリーン関数を用いて計算された周波数とどの程度異なるかを推定することができる。
• 分散に加えて、伝搬中のエネルギーの粘性減衰は、特に高周波数の場合、フィールド上の測定周波数に大きな影響を与える可能性がある。Gimbertら[2014]は、河川の乱流によって発生する振幅スペクトルを調査し、音源からの距離 r が5mから600mに増加すると、その中心周波数が10分の1に減少することを示した。
  

Farin, M. et al. (2018).Link between the dynamics of granular flows and the generated seismicsignal: Insights from laboratory experiments. Journal of Geophysical Research:Earth Surface, 123, 1407–1429.https://doi.org/10.1029/2017JF004296

斜路の模型実験

• バルクの運動エネルギー Ec(t) は失われた位置エネルギー ΔEp(t) よりも約1桁低い。そのため、これらの実験で粒の流れによって失われた総エネルギー Etot(t)=ΔEp(t)+Ec(t) は、ΔEp(t) よりもわずかに高いだけである。
• Hibert, Ekström, et al. (2017) では、エンベロープ Env(t) の最大振幅と流れの最大運動量｜MV｜の間に定量的な相関関係があることを報告している。しかし、実験では Env(t) の最大振幅が X方向（斜面流下方向）の速度の最大値には対応せず、Z方向（垂直方向）の速度の最大値に対応することが観察された。
• 実験で得られた粒状流の周波数は，自然現象で記録されたものよりも100～1,000倍高い。この違いを理論的に説明するために、実験室と野外でヘルツのモデル（Hertz, 1882）で予測される衝撃の持続時間の逆数として定義される周波数を計算した。実験室で記録された振動の周波数を野外で観測されたものにアップスケールするには、ヘルツの衝突継続時間が適切な特性時間であるといえる。
• According to Hertz’s theory of elastic impact,　this duration can be written
  Tc ≃ 2.87 (m^2/（RE∗^2VZ）)^(1/5)
  where m, R, and VZ are the impactor’s mass, radius and impact speed in the Z direction, respectively, and E∗ is　an elastic modulus given by
  1/E∗ = (1−𝜈^2)/Ei+(1−𝜈^2)/Eg
  where 𝜈i and 𝜈g are Poisson’s ratios, and Ei and Eg　are Young’s moduli for the impactor and the ground, respectively (Johnson, 1985).
• This approach, however, can be imprecise because the frequencies of the seismic signal emitted by an impact also strongly depend on the roughness of the ground, which is not taken into account in Hertz’s expression of the impact time Tc. In the field, the measured mean frequency fmean should also decrease as the distance between the seismic source and the seismic station increases because high-frequency energy attenuates more rapidly than low-frequency energy in heterogeneous media (Aki & Richards, 1980).
• 地震効率（失われた位置エネルギーが放射された地震エネルギーに変換される割合）は，実験では傾斜角が0°から20°に増加するにつれて半分に減少した（0.033％から0.017％）。斜面の角度に依存するのは、斜面の角度が小さいほど粒子の衝突がより正常に斜面に向けられ、地震効率が高くなることによると考えられる。
• 粗い面に衝突した粒子の地震効率は、平滑面に衝突した場合よりも約10倍低く、状態（平滑，粗面，侵食可能）に大きく依存すると推論した。

E*の式は DEMでも見かけますね。ヘルツの接触応力として有名だったのは知りませんでした。Hzのイメージしかなかったもので。