SPH 基本1：補間式

汎用スカラー関数fのSPH補間式（連続・離散レベルの両方）　𝑓: ℝ3→ℝ

SPH法では、f(x)はx近傍の領域Ωにおける積分として記載される。
位置 x での物理量f(x)はディラックのデルタ関数を使うと、

$$\begin{align*} f({x})=\iiint_{\mathrm{\Omega}}{f(\mathbf{x}\prime)\delta(\left|{x}-{x}\prime\right|)dV}\end{align*}$$

h→0 でW(x,h)→δ(x) となるような関数を使って近似すると、
$$\begin{align*} \langle{f({x})}\rangle=\iiint_{\mathrm{\Omega}}{f(\mathbf{x}\prime)W(\left|{x}-{x}\prime\right|,h)dV}\end{align*}$$

これを離散化すると、
$$\begin{align*} \langle{f({x_i})}\rangle=\sum_j{f(\mathbf{x_j})W(\left|{x_i}-{x_j}\right|,h)V_j}\end{align*}$$

これは、中心点xiの物理量を周辺の離散点xjの物理量に重みを乗じて合計した値とみなせる。