微分形と積分形

式を追っていくと、「これを微分形で表すと」という表記が出てきました。

がっつり体積分の式だったのですが、いきなりそれを微分形に直すというのは意味が分かりません。過程も出ておらず、結果しか示されていませんので、変換のヒントすらありません。
そもそも、私が不勉強のため、「微分形」という用語（とその変換）があることすら知りませんでした。もっと、若いころに物理や数学を学んでおけばよかったと、改めて後悔。

で、ググってみますと（出張中なので参考書はありません）、比較的よく使われる用語のようでした。見たところ、右辺・左辺ともに体積分で統一したら、中身は一緒でしょ、その中だけ取り出せば、∇があるので微分形です、というようなことだと勝手に理解しました。ま、∇でも∂でも微分があれば微分形と呼ぶのでしょうねえ。真の定義はわかりませんが、直面している式は、その手で解決できそうです。

左辺が偏微分のついた体積分、右辺がF・nを含む面積分です。右辺をガウスの発散定理を使って体積分に上げてやると、∇・Fが生まれて、中身が一緒でしょ、はい、左辺に∂/∂tのつく微分形のできあがり。ということで、展開の結果は合いました（用語の使い方はよくわからないので、帰ったら調べないといけませんが）。

次数を上げて解きにくくしているように見えるのに、微分形の簡単な式になる、という展開の発想がすごいですね。面白い。また、物理的な意味は同じで微分形・積分形の両方で表現できるというのも（私にとっては）新鮮。

ナビエ・ストークスまでは、もう少し時間がかかりそうですが、ゆっくりいきましょう。