ガウスの発散定理のイメージ

論文を読んでいると、ナビエ・ストークスの式が出てきました。

恥ずかしながら、今までナビエ・ストークスを使ったことがなかったので、導出を見てみようと思い調べ始めました。

が、最初に出てきた質量保存式の意味が分かりません。いえ、今まで成分を書き下した式を見慣れていたので、ドット・プロダクトを使った表示の物理的意味がスッと入ってきませんでした。で、逆に成分を書き下して、体積をかけて、流速（流量）の差を取る式に直して・・・・と、イメージできるまでさかのぼって確認しました。やはり使わないと忘れますね。

以下も忘れていました。

発散 (div)   ：∇をベクトルに、形式的に内積として作用させる。∇・u
勾配 (grad) ：∇をスカラーに、形式的にスカラー積として作用させる。∇φ
ガウスの発散定理：∫∫∫v ∇・u dV = ∫∫s u・n dS

質量保存式で流入量と流出量の差を整理すると、∇・u （= ∂ui/∂xi） に行き着く。これは微小体積の発散（湧き出し量）。ガウスの発散定理の左辺は、それを（求めたい領域で）体積積分したもの。u を法線方向に直すと、微小面積当たりの流出量。それを領域の表面で面積分して湧き出し量にしたのが右辺。当然、左辺と右辺は同じ。大雑把にはこんなイメージで覚えておくと忘れにくいでしょうか？

忘れるでしょうね。若いころに叩き込んでおくべきでした。
ナビエ・ストークスは後日です。