連続の式・運動方程式

まずは大雑把ですが、土石流（KANAKO）の「連続の式」と「運動方程式」をやっつけましょう。

参考にした資料は以下の通りです。

• 河村哲也「河川の流れのシミュレーション」山海堂 pp.1-23（導出はこれ）
• GUIを実装した土石流一次元シミュレータ開発：中谷加奈，里深好文，水山高久，砂防学会誌，Vol.60, No.2，pp.41-46, 2008
• 土石流計算における1次元・2次元シミュレーションモデルの結合，和田孝志，里深好文，水山高久，砂防学会誌，Vol.61，No.2， p.36-40，2008
• 中村ほか「地震砂防」pp.121-123 
• 土研資料「深層崩壊に起因する土石流の流下・氾濫計算マニュアル」p23（KANAKO 使用前提のマニュでしょうか？それとも砂防では基本的な式なのでしょうか？）

＊以降、誤りがあれば、随時修正します

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ρを定数とし、鉛直方向に積分した連続の式は、以下の形になります。

∂h/∂t＋∂M/∂x = a

ただし、M = Uh　（流束）で、U は u の深度方向の平均速度です。

LSFLOW では a の部分が 0ですが、KANAKO では河床変化につりあう水＋土砂量（河床変動の式侵食・堆積速度）となっています。また、別途、土砂濃度を両辺に乗じ土砂量のみのつり合いも別式として加えています。
ちなみに浸透流では鉛直方向に積分する必要がないので M が vi になり、ρの変化がないと仮定すれば第1項が消え、右辺のaが注水・揚水、地盤が保持する量として考慮されます。

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運動方程式は、LSFLOW と KANAKO が同類ですね（浸透流はダルシー則）。
どちらもナビエ・ストークスを鉛直方向に積分して得られる「河川の基礎方程式」のようです。ただし、KANAKO は初めから粘性項を無視しています（下記の通り）。LSFLOW では、実務上粘性を0とみなす事が多いので、実質同じでしょう。uが深度方向に一定 = U と仮定すると、以下の通りとなります。

∂M/∂t＋∂uM/∂x= -gh∂H/∂x-τ/ρ

この中の∂H/∂xを水面勾配、τを河床でのせん断力で表現しているのが KANAKO。ただし、せん断力の中身については、まだ理解できていませんので、ごっそり後回しです。
LSFLOW はτをクーロン則、ニュートン型の粘性抵抗則、マニングの抵抗則として選択できます。

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20200530一部修正