Complex Hilbert PCA

DASでの震源決定に複素主成分分析を利用されている事例を拝聴しました。
確かに、密な観測点ですので相互相関は得られそうですし、ノイズも落としやすいと思います。

複素主成分分析についてはよく知らなかったので調べてみました。
時系列データに対し、ヒルベルト変換をかませてからPCAにかけるだけのようですね。手順としては以下の通りです。 (by GPTさん)

1．時間領域の波形読み込み

2. 信号の標準化
標準化（mean = 0, standard deviation = 1）することで相互相関の計算が比較的均一になります。
signals_mod = [(s - np.mean(s)) / np.std(s) for s in signals]

3. ヒルベルト変換
ヒルベルト変換を使って各信号の解析信号（analytic signals）を計算。ヒルベルト変換は信号を複素数表現に変換し、瞬時位相や包絡線を得るために使用されます。
analytic_signals = [scipy.signal.hilbert(signal) for signal in signals_mod]

4.エルミート共役行列の計算
解析信号のエルミート共役（Hermitian transpose）を計算。エルミート共役は、行列の転置を取ってから各要素の複素共役を取る操作です。
analytic_signals_h =np.conjugate(analytic_signals.T)

5. 相互相関行列の計算
解析信号の相互相関行列を計算。複素数表現を使用することで、信号の振幅変化だけでなく、位相変化も考慮した相互相関を計算することができます。
corr_matrix = np.dot(analytic_signals, analytic_signals_h) * (1/ｆs)
1/fs倍することで正規化しています

6.主成分分析
相互相関行列の固有値（eigenvalues）と固有ベクトル（eigenvectors）を計算。
重要な情報を保持しつつデータの次元を削減します。小さな固有値に対応する成分は、ノイズである可能性が高く、これらの成分を無視することでデータのノイズ除去が可能です。
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(corr_matrix)
principal_components = np.dot(eigenvectors.T, analytic_signals)

ここから主成分をいくつか抜き出して、ノイズを落とした信号を再構築すれば、前処理は終わりです。再度、相互相関でΔtを推定するなり、位相差を計算するなりして利用するのでしょう。

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20241007追記

複素行列Aのエルミート転置イロイロ。
A.H
np.swapaxes(np.conjugate(A),1,0)
np.conjugate(A).T
np.conjugate(A.T)

.Hが簡単です。