弾性論とFEM

FrontISTR の ハンズオンに参加しました。

FrontISTR のビルドやインストール部分は時間の都合で割愛。メッシング は商用ソフトからのインポートが主流になりつつあるとのことで、これも割愛。ジョブを投げて計算を回すのに慣れるといった5時間でした。うーん。東大のスパコン？を使わないのでそこのジョブ管理を覚える必要はなかったのですが。ま、スパコンの使い方は似たようなものだと確認はできました。

機能紹介や理論の部分に METIS による領域分割、FEMにおける弾性論など懐かしい話題が含まれていました。FEMでの展開を忘れかけており、帰宅してから一通り復習です。

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線形変位場を仮定
→要素変位ー節点変位関係・・・補間関数[N]を使用
{ue}=[N]{u}
→物理空間座標系と計算空間座標系（正規化座標系）の関係・・・写像関数
アイソパラメトリック要素:補間関数と写像関数が同一(形状関数)

ひずみ-変位関係（支配方程式１）
→FEMでは要素ひずみー節点変位関係
{ε}=[B]{u}・・・（要素内の）ひずみは（節点）変位の空間勾配
Bマトリックス（ひずみ-変位マトリックス）：[B]=∇[N]・・・補間関数の空間微分

応力-ひずみ関係（フックの法則、支配方程式2）
→FEMでは要素応力-節点変位関係
σ=E{ε}・・・1次元
{σ}=[D]{ε}＝[D][B]{u}
Dマトリックス（応力-ひずみマトリックス）:ばね。ラメ定数でも表現可。

仮想仕事の原理(支配方程式3)
外力の仮想仕事(力ｘ変位)と
δW=1/2{u}T{f}：節点変位ベクトルと節点外力ベクトルの積
仮想ひずみエネルギー（ひずみｘ応力）の
δU=1/2∫{ε}T{σ}dV=∫[B]T{u}T[D][B]{u}dV
つり合い(要素剛性方程式)
{u}T{f}={u}T∫[B]T[D][B]{u}dV
{f}=[k]{u}
kマトリックス:k=∫[B]T[D][B]dxdydz
→FEMではヤコビアン|J|+正規化領域でガウスの数値積分：k=∫[B]T[D][B]|J|dξdηdζ

全体剛性マトリクス
{F}=[K]{U}

変位の計算
{U}=[K]-1{Ｆ}

節点変位→要素ひずみ→要素応力
応力は積分点で計算。
節点変位は要素間で連続（適合）するが、ひずみと応力の連続性は保障されない。
応力・ひずみは変位の勾配に比例する物理量であるため、変位より精度が低くなる。
実用的には積分点の値を節点に外挿し平均した節点平均応力、節点平均ひずみが用いられる。

※アイソパラメトリック1次要素→せん断ロッキング→低減積分で回避→アワーグラスモード→非適合要素（要素間の変位の連続性が保たれないものの、実用的には問題ない程度）

※四辺形1次要素の完全積分:４点（2次積分）、2次要素9点（3次積分）→低減積分：1次要素1点、2次要素4点