Joint Inversion その2

 SimPEG の解き方です。

Thibaut Astic et al.(2019) A framework for petrophysically and geologically guided geophysical inversion using a dynamic Gaussian mixture model prior
https://academic.oup.com/gji/article-abstract/219/3/1989/5556947

PGI: petrophysically and geologically guided geophysical inversion
GMM: Gaussian mixture model

1 Initialization: m, Θ, z
2 while Φd > Φd* and Φs > Φs* do
3 (inversion)　
   objective function Descent Step (Gauss-Newton)
   minimaize Φ(m)　= Φd(m)+β{αsΦs(m) + ΣαvΦv(m)}
   misfit Φd(m) eq.21 on d
   smallness Φs(m)　eq.4=20 on mref
   Φs(m) = (1/2)||Ws(m − mref)||22
   reference model mref, local weight matrix Ws
   smoothness Φv(m) along{x, y, z}
   → update m(t)
4 (Maximum A Posteriori Expectation-Maximization　eq.24 with 27, 32, 34)
   fit a new GMM petrophysical distribution on m(t)
   GMM global variables Θ = {πj,µj,Σj}
   proportion πj = nj/n
   mean        μj (vector of size q)
   covariance Σj (matrix of size q × q)
   geological unit j (j = 1..c)
   GMM simply sums the Gaussian probability distribution N weighted by their proportion:
   P(si|Θ) = ∑j πjN(si|µj,Σj)
   generalized version:
   M(m|Θ) = Πi∑j　P(zi=j)N(mi|µj,wi(-2)Σj)
   → update Θ(t)
5 Classif　z(t)　eq.21 on m(t)
   z = argmax P(m|z)P(z) （=argmax πjN(si|µj,Σj)）
   →update z(t)
   →update mref eq.22 and Ws eq.23 on z(t), Θ(t)
6 update αs and β
7 Loop

流れはわかりますが、部分的に理解できないところが残りました。
これで収束するのが不思議。ベイジアンの頭の中を覗いてみたいですね。
共分散を使うので、物理量の関係を定式化不要なのが利点でしょうか。地質のようなカテゴリカルな結果も同時に得られますが、その分布確率が出るなら実務でも使い道が広がりそうです。
身に着けるには、読み込み＋手を動かさないとダメかな。