SPH 空間補間が、平滑化長を h とすると、 𝑂(ℎ2) に等しい精度で収束。
1Dの場合、
⟨A(r)⟩=∫ΩA(r′)W(r−r′)dr′
A(r’) を r 周りでテーラー展開すると
A(r′)≅A(r)+∂A(r)∂r(r−r′)+12∂2A(r)∂r2(r−r′)2+・・・
SPHでは
⟨A(r′)⟩=A(r)∫ΩW(r−r′)dr′
+∂A(r)∂r∫Ω(r−r′)W(r−r′)dr′
+12∂2A(r)∂r∫Ω(r−r′)2W(r−r′)dr′
+・・・
1.正規化:影響域で積分すると1になる。
∫ΩW(r−r′)dr′=1
2.偶関数:中心に対し点対称
W(r−r′)=W(r′−r)
∫Ω(r−r′)W(r−r′)dr′
=∫Ω(r−r′)W(r′−r)dr′
=−∫Ω(r−r′)W(r−r′)dr′
=0
3.q=r−r′h,w(r−r′)=αhf(q),𝑓:ℝ+とすると
α∫Ωqf(q)dq=1
dr=dq・h
α∫Ωq(r−r′)2f(q)dq=αh2∫Ωqq2f(q)dq
1, 2, 3より、
⟨A(r′)⟩=A(r)+12∂2A(r)∂rαh2∫Ωqq2f(q)dq+・・・
=A(r)+O(h2)
0 件のコメント:
コメントを投稿