SPH 基本3：精度

SPH 空間補間が、平滑化長を h とすると、 𝑂(ℎ2) に等しい精度で収束。

1Dの場合、

\begin{align*}
\left\langle A\left(r\right)\right\rangle=\int_{\mathrm{\Omega}}{A\left(r^\prime\right)W\left(r-r^\prime\right)dr^\prime}\end{align*}
A(r’) を r 周りでテーラー展開すると
\begin{align*}
A\left(r^\prime\right)\cong A\left(r\right)+\frac{\partial A\left(r\right)}{\partial r}\left(r-r^\prime\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2A\left(r\right)}{\partial r^2}\left(r-r^\prime\right)^2+・・・\end{align*}
SPHでは

\begin{align*}
\left\langle A\left(r^\prime\right)\right\rangle=A\left(r\right)\int_{\mathrm{\Omega}}{W\left(r-r^\prime\right)dr^\prime}\end{align*}

\begin{align*}+\frac{\partial A\left(r\right)}{\partial r}\int_{\mathrm{\Omega}}\left(r-r^\prime\right)W\left(r-r^\prime\right)dr^\prime\end{align*}

\begin{align*}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2A\left(r\right)}{\partial r}\int_{\mathrm{\Omega}}{\left(r-r^\prime\right)^2W\left(r-r^\prime\right)}dr^\prime\end{align*}

\begin{align*}+・・・\end{align*}

 1．正規化：影響域で積分すると１になる。

\begin{align*}
\int_{\mathrm{\Omega}}{W\left(r-r^\prime\right)dr^\prime=1}\end{align*}
 2．偶関数：中心に対し点対称

\begin{align*}
W\left(r-r^\prime\right)=W\left(r^\prime-r\right)\end{align*}

\begin{align*}
\int_{\mathrm{\Omega}}\left(r-r^\prime\right)W\left(r-r^\prime\right)dr^\prime\end{align*}

\begin{align*}=\int_{\mathrm{\Omega}}{\left(r-r^\prime\right)W\left(r^\prime-r\right)dr^\prime}\end{align*}

\begin{align*}=-\int_{\mathrm{\Omega}}\left(r-r^\prime\right)W\left(r-r^\prime\right)dr^\prime\end{align*}

\begin{align*}=0\end{align*}

3．\begin{align*}q=\frac{r-r^\prime}{h}, w\left(r-r^\prime\right)=\frac{\alpha}{h}f\left(q\right), 𝑓: ℝ+ とすると\end{align*}

\begin{align*}\alpha\int_{\mathrm{\Omega}_q} f\left(q\right)dq=1\end{align*}

\begin{align*}dr=dq・h\end{align*}

\begin{align*}
\alpha\int_{\mathrm{\Omega}_q}{\left(r-r^\prime\right)^2f\left(q\right)dq}=\alpha h^2\int_{\mathrm{\Omega}_q}{q^2f\left(q\right)dq}\end{align*}
1, 2, 3より、

\begin{align*}
\left\langle A\left(r^\prime\right)\right\rangle=A\left(r\right)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2A\left(r\right)}{\partial r}\alpha h^2\int_{\mathrm{\Omega}_q}{q^2f\left(q\right)dq}+・・・\end{align*}

\begin{align*}=A\left(r\right)+O\left(h^2\right)\end{align*}