1次元浅水流方程式の表現

1次元浅水流方程式（Saint-Venant 方程式） を用いて、矩形断面開水路における非定常流れを計算しました。上流端から一定時間流量を与えた後、流入を停止した際の流量減衰曲線（Recession Curve） をいくつかの条件で見てみたかったのです。

連続式と運動量式を組みあわせるだけなのですが、いくつかの表現があります。

連続式（質量保存則）
∂A/∂t + ∂Q/∂x = 0
∂h/∂t + ∂(uh)/∂x = 0
∂h/∂t + (1/B)·∂Q/∂x = 0

ここで、 h : 水深 [m]、u : 断面平均流速 [m/s]、Q : 流量 [m³/s]、A : 流水断面積 [m²] (= B·h)、B : 水路幅 [m]、t : 時間 [s]、x : 流下方向距離 [m]

 運動量式（運動量保存則）
∂Q/∂t + ∂(Q²/A)/∂x = -gA·∂H/∂x + gASf
∂Q/∂t + ∂(Q²/A)/∂x = -gA·∂h/∂x + gA(S₀ - Sf)
∂u/∂t + u·∂u/∂x = -g·∂h/∂x + g(S₀ - Sf)

ここで、g : 重力加速度 = 9.81 m/s²、H : h+z [m]、S₀ : 河床勾配（正：下流に向けて下がる）[-]、 Sf : 摩擦勾配（エネルギー線勾配）[-]

摩擦勾配 Sf は Manningの粗度式で表されます。
Sf = (n²·|u|·u) / R^(4/3)
Sf = (n²·Q·|Q|) / (A²·R^(4/3))

ここで、n : Manningの粗度係数 [s/m^(1/3)]、R : 径深（潤辺）[m]

矩形断面の径深
R = A/P = (B·h)/(B + 2h)
幅広水路（B >> h）の場合
R ≈ h

数学ではいずれも等価なのですが、時間方向に陽解法を用いると微妙に結果が異なることもあります。一番計算手順が少なくなる（誤差の積み重ねが少なくなる）表現を選択するのが良いのでしょう。