常微分方程式

振動などの物理現象を解く際には、常微分方程式の解法が利用されています。

が、既に学んだことすら記憶にありません。
冬休み中に再読。以下にメモ。学ぶべき時に励んでおけばよかった。

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未知関数 y(x) と x および導関数 y'(x),y"(x),・・・yn(x) からなる方程式を n階常微分方程式という。
F(x,y(x),y'(x),y"(x),・・・yn(x))=0
このとき、y(x) を常微分方程式の解という。（方程式を解く＝式を求める）

常微分方程式の分類
・線形・非線形
・定数係数・変数係数
・同次・非同次

登坂宣好「微分方程式の解法と応用」より常微分方程式の例
線形‐変数係数‐非同次形
$$\begin{align*}\frac{dy}{dx}\left(x\right)+x^2y\left(x\right)=e^x\end{align*}$$
線形‐定数係数‐非同次形
$$\begin{align*}\frac{dy}{dx}\left(x\right)+3y\left(x\right)=e^x\end{align*}$$
線形‐変数係数‐同次形
$$\begin{align*}\frac{dy}{dx}\left(x\right)+x^2y\left(x\right)=0\end{align*}$$
線形‐定数係数‐同次形
$$\begin{align*}\frac{dy}{dx}\left(x\right)+3y\left(x\right)=0\end{align*}$$
非線形‐非同次形
$$\begin{align*}y\left(x\right)\frac{dy}{dx}\left(x\right)+3y\left(x\right)=x^3\end{align*}$$

解法（最近、使用した解法のみ記載）
線形-1階-定数係数-非同次形
$$\begin{align*}\displaystyle\frac{dy}{dx}\left(x\right)=f\left(x\right)\end{align*}$$
直接積分形：両辺をxで積分（両辺にdxを乗ずる形にして積分)
$$\begin{align*}f\left(x\right)=x : y\left(x\right)=\int xdx=\frac{1}{2}x^2+c\end{align*}$$ $$\begin{align*}f\left(x\right)=sinx：y\left(x\right)=\int sinxdx=-cosx+c\end{align*}$$
線形-1階-定数係数-同次形
$$\begin{align*}\displaystyle\frac{dy}{dx}\left(x\right)=ay\left(x\right)\end{align*}$$
指数関数解:
$$\begin{align*}\frac{d}{dx}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}=ae^{\lambda x}\end{align*}$$ $$\begin{align*}\left(\lambda-a\right)e^{\lambda x}=0\rightarrow\lambda=a\end{align*}$$
解として $$\begin{align*}e^{ax}\end{align*}$$ を有する。定数倍した $$\begin{align*}Ce^{ax}\end{align*}$$ も解となる。（一般解）

線形-n階-定数係数-同次形
$$\begin{align*}\frac{d^ny}{dx^n}\left(x\right)+a_1\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\left(x\right)+\ldots+a_ny\left(x\right)=0\end{align*}$$ 左辺に $$\begin{align*}y=C_1y_1+C_2y_2+\ldots+C_ny_n\end{align*}$$ を代入すると $$\begin{align*}\frac{d^n}{dx^n}\left(C_1y_1+C_2y_2+\ldots\right)+a_1\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(C_1y_1+C_2y_2+\ldots\right)+a_n\left(C_1y_1+C_2y_2+\ldots\right)\end{align*}$$ $$\begin{align*}{=C}_1\left({\frac{d^n}{dx^n}y}_1+a_1\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y_1+\ldots+a_ny_1\right)+C_2\left({\frac{d^n}{dx^n}y}_2+a_1\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y_2+\ldots+a_ny_2\right)+\ldots\end{align*}$$ $$\begin{align*}{=C}_1・0+C_2・0+\ldots C_n・0=0\end{align*}$$ よって $$\begin{align*}y=C_1y_1+C_2y_2+\ldots+C_ny_n\end{align*}$$ は一般解となる。
解の形が $$\begin{align*}y=Ce^{\lambda x}\end{align*}$$ のとき、
$$\begin{align*}C\ \left(\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\ldots+a_n\right)e^{\lambda x}=0\end{align*}$$
C＝0のとき、y＝0は自明な解。 $$\begin{align*}\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+\ldots+a_n=0 ：特性方程式\end{align*}$$ のとき、非自明な解 $$\begin{align*}y=C_1e^{α_1ｘ}+C_2e^{α_2ｘ}+⋯+C_ne^{α_nｘ}\end{align*}$$ が存在。

非線形（特別な形式）
変数分離型解法：両辺をg(y)で割ってから積分(g(y)≠0)
$$\begin{align*}\displaystyle\frac{dy}{dx}\left(x\right)=f\left(x\right)g(y\left(x\right))\end{align*}$$ $$\begin{align*}\frac{1}{g\left(y\left(x\right)\right)}dy=f\left(x\right)dx\end{align*}$$ $$\begin{align*}\int\frac{1}{g\left(y\left(x\right)\right)}dy=\int f\left(x\right)dx\end{align*}$$