地下水～地表流まで

・層流 : i=au
・層流から乱流への遷移状態、乱流 : i=au+bu²
・乱流 : i=bu²

1. 層流（粒径小、速度低）

Darcy： $$\begin{align*}-\mathrm{\nabla h}=\frac{1}{k}\boldsymbol{u}=a\boldsymbol{u}\end{align*}$$ 　h=p/(ρg)より $$\begin{align*}-\mathrm{\nabla p}=\rho g\frac{1}{k}\boldsymbol{u}=\rho ga\boldsymbol{u}=\alpha\boldsymbol{u}\end{align*}$$
Darcy-Kozeny Carman:
$$\begin{align*}a=\frac{1}{k}=\frac{180\nu\left(1-n_e\right)^2}{g{\mathrm{\Phi}^2n}_e^3d^2}\end{align*}$$ 　ν=μ/ρより $$\begin{align*}\alpha=\frac{\rho g}{k}=\frac{180\mu\left(1-n_e\right)^2}{{\mathrm{\Phi}^2n}_e^3d^2}\end{align*}$$

2. 層流～乱流への遷移状態、乱流（粒径大、高速）

Forchheimer：
$$\begin{align*}-\mathrm{\nabla h}=a\boldsymbol{u}+b\left|\boldsymbol{u}\right|\boldsymbol{u}\end{align*}$$
Ergun(1952)
$$\begin{align*}a=\frac{1}{k}=\frac{150v\left(1-n_e\right)^2}{gn_e^3d^2} 　b=\frac{1.75\left(1-n_e\right)}{gn_e^3d}\end{align*}$$

Kadlec and Knight(1996):角ばった粒子に適用。
$$\begin{align*}a=\frac{1}{k}=\frac{255v\left(1-n_e\right)}{gn_e^{3.7}d^2} 　b=\frac{2\left(1-n_e\right)}{gn_e^3d}\end{align*}$$

3.乱流

Manning：
$$\begin{align*}u=\frac{1}{n}R^\frac{2}{3}I^\frac{1}{2}\end{align*}$$ $$\begin{align*}I=\frac{n^2}{R^\frac{4}{3}}u^2=bu^2\end{align*}$$
h：水頭（m）
p：ポテンシャル（Pa）
ρ：密度（kg/m3）
k：透水係数（m/s)
u：速度（m/s）
α：係数（s/m）
β：係数（s2/m2）
Φ：球形度(0～1、球=1)
d：有効粒径（m）
μ：粘性係数（Pa・s）
ν：動粘性係数（m2/s）=μ/ρ
ne：間隙率
g：重力加速度(m/s2)
n：マニングの粗度係数(m^−1/3・s)
R：径深(m)
I：勾配

OpenFOAM
https://openfoamwiki.net/index.php/DarcyForchheimer
https://phreeqc.blogspot.com/2022/02/darcy-forchheimer-model.html?m=0
$$\begin{align*}-\mathrm{\nabla h}=a\boldsymbol{u}+b\left|\boldsymbol{u}\right|\boldsymbol{u}\end{align*}$$ $$\begin{align*}-\mathrm{\nabla p}=\rho ga\boldsymbol{u}+\rho gb\left|\boldsymbol{u}\right|\boldsymbol{u}=\alpha\boldsymbol{u}+\beta\left|\boldsymbol{u}\right|\boldsymbol{u}=\mu D\boldsymbol{u}+\frac{1}{2}\rho F\left|\boldsymbol{u}\right|\boldsymbol{u} \end{align*}$$
Darcy:
$$\begin{align*}\alpha=\frac{\rho g}{k}=\mu D\end{align*}$$ $$\begin{align*}D=\frac{\rho g}{k\mu}\end{align*}$$ $$\begin{align*}F＝0\end{align*}$$
Darcy-Kozeny Carman:
$$\begin{align*}\alpha=\frac{\rho g}{k}=\frac{180\mu\left(1-n_e\right)^2}{{\mathrm{\Phi}^2n}_e^3d^2}=\mu D\end{align*}$$ $$\begin{align*}D=\frac{180\left(1-n_e\right)^2}{{\mathrm{\Phi}^2n}_e^3d^2}\end{align*}$$ $$\begin{align*}F＝0\end{align*}$$
Forchheimer-Ergun:
$$\begin{align*}\alpha=\rho ga=\frac{\rho g}{k}=\frac{150\mu\left(1-n_e\right)^2}{n_e^3d^2}=\mu D\end{align*}$$ $$\begin{align*}D=\frac{150\left(1-n_e\right)^2}{n_e^3d^2}\end{align*}$$ $$\begin{align*}\beta=\rho gb=\frac{1.75\rho\left(1-n_e\right)}{n_e^3d}=\frac{1}{2}\rho F\end{align*}$$ $$\begin{align*}F=\frac{3.5\left(1-n_e\right)}{n_e^3d}\end{align*}$$

PersianSPHでは、式と係数を選択。ソース内で係数変更可。
OpenFOAMでは、D,F 入力で表現。