デルタ関数のフーリエ変換

 ω=2πf=2π/T・・・角振動数ωは振動数ｆの２π倍
$$\begin{align*}cos{\omega t},\ \sin{\omega t}・・・ω=1(=cost,\ \sin{t})\end{align*}$$ で周期T=２πの周期運動
$$\begin{align*}x=x_0cos{\left(\omega t+\alpha\right)}\end{align*}$$ 調和運動：()の中身が ｔ の一次式

 

自由振動の一般解
$$\begin{align*}m\ddot{x}+kx=0\end{align*}$$
【表現1】解の形を $$\begin{align*}x=Xe^{\lambda t}, λ＝iω\end{align*}$$ とおいて展開
$$\begin{align*}x=X_1e^{i\omega t}+X_2e^{-i\omega t}\end{align*}$$ ２つの任意定数を含んだ解＝一般解
【表現2】オイラーの公式を用いて書き換え
$$\begin{align*}x=\left(X_1+X_2\right)cos{\omega t}+i\left(X_1-X_2\right)sin{\omega t}\end{align*}$$
$$\begin{align*}=acos{\omega t}+bsin{\omega t}\end{align*}$$
【表現3】三角関数の合成の公式を用いて書き換え
$$\begin{align*}x=a_0cos{\left(\omega t+\alpha\right)}\end{align*}$$

 

周期関数のフーリエ級数
【表現2】の利用
$$\begin{align*}f\left(t\right)=\frac{1}{2}a_0+a_1cos{\omega t}+a_2cos{2\omega t+\ldots}\end{align*}$$ $$\begin{align*}+b1sinωt+b2sin2ωt+⋯\end{align*}$$
オイラーの公式を利用して表現を変えると
$$\begin{align*}cos{\theta}=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\ sin{\theta}=-i\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}\end{align*}$$
$$\begin{align*}f\left(t\right)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{r=1}^{\infty}\left(a_r\frac{e^{ir\omega t}+e^{-ir\omega t}}{2}{-jb}_r\frac{e^{ir\omega t}-e^{-ir\omega t}}{2}\right)\end{align*}$$
複素フーリエ級数
$$\begin{align*}f\left(t\right)=\sum_{r=‐∞}^{∞}{F_re^{ir\omega t}}\end{align*}$$
複素フーリエ係数
$$\begin{align*}F_r=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f\left(t\right)e^{-ir\omega t}dt}\end{align*}$$

非周期関数のフーリエ積分
$$\begin{align*}f\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{F\left(\omega\right)e^{i\omega t}d\omega}\end{align*}$$
フーリエ変換・・・フーリエ級数のフーリエ係数に相当
$$\begin{align*}F\left(\omega\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{f\left(t\right)e^{-i\omega t}dt}\end{align*}$$

 

デルタ関数のフーリエ変換
t＝0の時、e^0=1より
$$\begin{align*}F\left(\omega\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\delta\left(t\right)e^{-i\omega t}dt}=\frac{1}{2\pi}\end{align*}$$